Basic/Math

Sqrt (C++)

VallistA2015. 10. 13. 11:22

sqrt 는 게임을 구현할 때나 각종 공식등을 구현할 때 많이 쓰이는 공식으로써 흔히 제곱근을 구할때 많이쓴다.

다만 우리는 기본적으로 MS에서 제공하는 것이나 각종 라이브러리에서 제공을 하므로써 내부 구현에 대해서는 잘 알질 못한다.


MS에서 기본적으로 제공하는 함수들은 무엇을 이용하는지는 모르겠지만 우리는 바빌로니아 법을 사용하여 제곱근을 구현 해볼것이다.


바빌로니아 법은 아래와 같이 근사값을 구하는 과정을 거친다.


아래는 위키 전문


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양의 실수 a에 대하여 다음 과정을 따라 \sqrt{a}의 근삿값을 구할 수 있다.

  1. 임의의 양의 실수 x_0를 택한다. 이 값이 \sqrt{a}에 가까울수록 더 빨리 근삿값을 구할 수 있다.
  2. x_{n+1}=\frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)=\frac{{x_n}^2+a}{2x_n}
  3. 원하는 정밀도에 이르기까지 2의 과정을 반복한다.

위에서 구한 수열 \left\{ x_n \right\}에서 각 항은 이전 항에 비해 소수점 아래로 두 배의 유효 수치를 갖는 것으로 알려져 있으며, \lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}를 만족한다.

다음은 x_0 = 1로 시작하여 위의 방법에 따라 \sqrt{2}의 근삿값을 구한 것이다.

x_1 = \frac{3}{2} = 1.5
x_2 = \frac{17}{12} = 1.41\dot6
x_3 = \frac{577}{408} \approx 1.4142156862~7450980392~1568627451
x_4 = \frac{665857}{470832} \approx 1.4142135623~7468991062~6295578890~1
x_5 = \frac{88631088897}{627013566048} \approx 1.4142135623~7309504880~16896235

x_5\sqrt{2}의 참값과 소수점 아래 23자리까지 일치한다.


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아래는 C++ 소스코드.



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